Szkoła Matematyki Poglądowej

Nie byłoby zbytnią przesadą stwierdzenie, że uogólnienia są kwintesencją matematyki. Zazwyczaj bardziej interesujące i przydatne są twierdzenia, które mówią coś o całej klasie obiektów, niż o pojedynczym jej reprezentancie. Najważniejsze twierdzenia podają własności liczb pierwszych, a nie tylko liczby 631,  rozmaitości, a nie tylko sfery, funkcji ciągłych, a nie tylko funkcji rzeczywistej danej wzorem f(x)=sin x+5. Dzięki temu, pozornie bardzo odległe zastosowania mogą być wyprowadzone z pojedynczej teorii matematycznej (a czasem pojedynczego twierdzenia): własności wartości i wektorów własnych wynikające z twierdzenia Frobeniusa-Perrona są kluczowe zarówno w konstrukcji mostów, układów elektrycznych, jak i tworzeniu przeglądarek internetowych; wyznaczanie odpowiedniego stanu równowagi Nasha pozwala na wyjaśnianie mechanizmów ewolucji w świecie przyrody, ale też zachowań inwestorów na giełdzie lub uczestników ruchu drogowego; twierdzenia teorii liczb można wykorzystać równie dobrze w kryptografii, w zaawansowanej fizyce teoretycznej, jak i w komponowaniu muzyki, a równanie falowe opisuje równie dobrze dynamikę płynu, co rozchodzenie się dźwięku.

Jednak, z drugiej strony, teorie matematyczne prawie nigdy nie powstają w swojej najbardziej ogólnej formie. Różne procesy fizyczne trzeba było rozważać w oderwaniu od siebie, zanim zostały opisane rachunkiem różniczkowym, potem uogólnionym w równaniach różniczkowych cząstkowych i równaniach stochastycznych. Do zdefiniowania struktur algebraicznych zapewne by nie doszło, gdyby nie wcześniejsze badania zbiorów liczb całkowitych, rzeczywistych, czy zespolonych. Analizę geometrii rozmaitości musiały poprzedzić wieki zmagań z geometrią płaszczyzny i stereometrią.

Co było motywacją takich przejść od pojedynczych obiektów do coraz ogólniejszych teorii? Najczęściej potrzeba rozwiązania problemu bardziej ogólnego, niż rozważany dotychczas: gdy okazało się, że rozwiązania co bardziej skomplikowanych równań różniczkowych nie chcą się zachowywać ,,porządnie'', trzeba było się zająć teorią chaosu, odkrycia dotyczące zaskakującej struktury wszechświata dały impuls do rozwoju geometrii różniczkowej, a konieczność uwzględnienia w kalkulacjach ekonomicznych braku pewności co do przyszłych wydarzeń wymagała modeli opartych na teorii prawdopodobieństwa i statystyce. Czasami jednak, stary problem łatwiej można było rozwiązać po jego uogólnieniu: matematyczni olimpijczycy nieraz spotykali się z zadaniami, w których pewną własność danej, bardzo dużej liczby naturalnej najłatwiej było dowieść za pomocą indukcji matematycznej jako twierdzenie o całym podzbiorze liczb naturalnych; włoscy renesansowi matematycy odkryli, że aby rozwiązać rzeczywiste równania wielomianowe niezbędne jest uogólnienie liczb rzeczywistych do zespolonych; w końcu słynne Wielkie Twierdzenie Fermata zostało udowodnione w postaci znacznie ogólniejszego Twierdzenia Shimury-Taniyamy-Weila. Wreszcie, uogólnienia rzucają wyzwanie naszej intuicji, często błędnie ukształtowanej na prostszych przykładach: na zbiorach o mocy nieskończonej można wykonywać operacje paradoksalne z punktu widzenia intuicji dotyczącej zbiorów skończonych; topologia przestrzeni nieskończeniewymiarowych nie jest prostym przeniesieniem zasad otrzymywanych przy założeniu wymiaru skończonego, a dynamika płynu przy założeniu niewielkiej lepkości niekoniecznie jest podobna do dynamiki płynu przy założeniu lepkości zerowej.